CF285E Positions in Permutations
发现有恰好，那容斥成钦定。
然后这个 \(p_i\) 只能是 \(i-1,i,i+1\)，那状态记 \(f_{i,j,0/1,0/1}\) 即可。
CF1728G Illumination
先不考虑增加灯。那么子集容斥，枚举哪些子集不被照亮。
考虑相邻两个不被照亮的点之间的灯，预处理某个区间内的灯减去某个关键点的乘积即可，复杂度 \(O(nm+2^mm)\)。
考虑增加灯，那贡献是关于 \(f_i\) 左右两边最近的点在哪的。于是可以做到 \(O(qm^2)\)。
CF2048G Kevin and Matrices
如果存在点 \(a_{x,y}\) （称作是好点）满足是行 \(x\) 的 \(\max\)，同时是列 \(y\) 的 \(\min\)，那么一定满足条件（充分）。
推导其必要性：那么每行的最大值（可能有多个），都可以在对应的列找到比起更小的最小值。对于没有好点的列，一定满足最小值小于任意行的最大值。然后有好点的列，也满足这个条件。然后就推出矛盾了。这里怎么推出来了我也很懵（逃
那么我们现在有充要条件了，然后发现好点的 \(a\) 是相等的。我们的好点满足为 \(S,T\) 两个集合的笛卡尔积，其中 \(S\) 为行的集合，\(T\) 为列的集合。
钦定一些位置是好点，有式子 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m\sum_{c=1}^V(-1)^{i+j}\binom{n}{i}\binom{m}{j}c^{i(m-j)}(V-c+1)^{j(n-i)}V^{(n-i)(m-j)}\)。
交换求和得到 \(\sum_{i=1}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}\sum_{c=1}^V\sum_{j=1}^m(-1)^{j}\binom{m}{j}c^{i(m-j)}(V-c+1)^{j(n-i)}V^{(n-i)(m-j)}=\sum_{i=1}^n (-1)^i\binom{n}{i}\sum_{c=1}^V(c^iV^{n-i}-(V-c+1)^{n-i})^m\)，可以 \(O(nV\log m)\) 计算。
CF1707D Partial Virtual Trees
欸可以偷懒了之前做过
CF1114F Please, another Queries on Array?
对于每个质因数，只有当其存在的时候需要对答案乘上 \(\frac{p-1}{p}\)。
然后 \(p\) 只有 62 个，直接状压记录区间内是否出现，并维护区间乘积即可。
CF1957E Carousel of Combinations
注意 \(C(i,j)\) 不是 \(S_1\) 而是 \(\binom{i}{j}(j-1)!\)。然后 \(C(i,j)=\frac{i^{\underline j}}{j}\)，\(i^{\underline j}\) 中一定存在一个 \(j\) 的倍数。那么可以写成 \((j-1)!\left\lfloor\frac{i}{j}\right\rfloor\)。
威尔逊定理：\((p-1)! \equiv p-1\pmod p\)，\(p\) 为素数。
\((p^\prime -1)!\equiv 0\pmod p^\prime\)，\(p^\prime\) 为不等于 4 的合数。\(3!\equiv 2\pmod 4\)。
交换求和顺序，枚举 \(j\) 和 \(\left\lfloor\frac{i}{j}\right\rfloor\) 就做完了。
CF1783E Game of the Year
睡觉题目
CF698D Limak and Shooting Points
这个题放错位置了。
暴搜即可，复杂度 \(O(k!\times k\times n)\)。