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随机游走理解

news 2025/9/13 20:50:59

赌徒破产定理：为什么赌博最终会归零

引言

在概率论中，"赌徒破产定理"（Gambler's Ruin）是一个经典的结果，它表明在一个公平的赌博游戏中，如果赌徒拥有有限的本金而庄家拥有无限的资金，赌徒最终破产的概率是1。即使游戏是公平的（胜负概率各50%，赔率1:1），随机游走的性质决定了赌徒几乎必然会失去所有资金。

数学证明

问题设定

考虑一个赌徒参与一个公平的赌博游戏：

每局赌注固定为1单位
获胜概率为p，失败概率为q，且p = q = 0.5（公平游戏）
赌徒初始本金为A单位
庄家资金无限（或远大于赌徒本金）

赌徒的目标是达到B单位资金（B > A），但如果资金降至0，则破产。

随机游走模型

赌徒的资金变化可以建模为一个随机游走过程。令Xₙ表示第n局后的资金额，则：

Xₙ₊₁ = Xₙ + Zₙ

其中Zₙ是一个随机变量，取值为+1（获胜）或-1（失败），各以概率0.5发生。

这是一个无偏的随机游走（martingale）。

破产概率推导

令Pₖ表示当当前资金为k时，最终破产的概率。

我们有以下边界条件：

P₀ = 1（资金为0时已破产）
P_B = 0（达到目标资金B，不再赌博）

对于0 < k < B，根据全概率公式：

Pₖ = p · Pₖ₊₁ + q · Pₖ₋₁

由于p = q = 0.5，可得：

Pₖ = (1/2)Pₖ₊₁ + (1/2)Pₖ₋₁

rearranging:

2Pₖ = Pₖ₊₁ + Pₖ₋₁

Pₖ₊₁ - Pₖ = Pₖ - Pₖ₋₁

这表明相邻状态的破产概率之差是常数。令Δ = P₁ - P₀ = P₁ - 1

那么：
P₂ - P₁ = Δ
P₃ - P₂ = Δ
...
Pₖ - Pₖ₋₁ = Δ
...
P_B - P_B₋₁ = Δ

将这些方程相加，得到：

P_B - P₀ = B · Δ

但P_B = 0, P₀ = 1，所以：

0 - 1 = B · Δ
Δ = -1/B

因此：
Pₖ - Pₖ₋₁ = -1/B

现在从P₀开始求和：

Pₖ = P₀ + (P₁ - P₀) + (P₂ - P₁) + ... + (Pₖ - Pₖ₋₁)
= 1 + k · Δ
= 1 + k · (-1/B)
= 1 - k/B

当B → ∞（庄家资金无限），Pₖ → 1 - k/∞ = 1

这意味着对于任何有限本金k，当对手资金无限时，破产概率为1。

期望时间直到破产

即使破产概率为1，赌徒可能希望知道平均需要多少局才会破产。可以证明，从本金k开始，期望的赌博局数直到破产是k × (B - k)。当B → ∞时，这趋于无穷，但破产仍然几乎必然发生。

代码演示

以下C++程序模拟了描述的场景：初始本金10000元，单局赌注100元，一直押注"大"（11点以上），3个骰子。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <random>using namespace std;// Function to roll three dice and return the sum
int rollDice() {random_device rd;mt19937 gen(rd());uniform_int_distribution<> dis(1, 6);int dice1 = dis(gen);int dice2 = dis(gen);int dice3 = dis(gen);return dice1 + dice2 + dice3;
}// Function to determine if the result is "big" (11 points or more)
bool isBig(int total) {return total >= 11;
}int main() {// Initialize random seedsrand(time(0));// Game parametersint capital = 10000;  // Initial capitalconst int betAmount = 100;  // Bet per gameint totalGames = 0;int gamesWon = 0;int gamesLost = 0;// Get number of games to playcout << "欢迎来到猜大小游戏!" << endl;cout << "初始本金: " << capital << "元" << endl;cout << "单局赌注: " << betAmount << "元" << endl;cout << "游戏规则: 3个骰子，11点以上为大" << endl;cout << "你将一直押注'大'" << endl << endl;cout << "请输入要进行的游戏次数: ";cin >> totalGames;// Validate inputif (totalGames <= 0) {cout << "游戏次数必须大于0!" << endl;return 1;}cout << "\n开始游戏..." << endl;cout << "==========================================" << endl;// Play the specified number of gamesfor (int game = 1; game <= totalGames; game++) {if (capital < betAmount) {cout << "本金不足，无法继续游戏！游戏提前结束。" << endl;break;}// Place betcapital -= betAmount;// Roll diceint diceSum = rollDice();bool isBigResult = isBig(diceSum);// Check resultif (isBigResult) {// Win - get 2x bet back (bet amount + winnings)int winAmount = betAmount * 2;capital += winAmount;gamesWon++;cout << "第" << game << "局: 骰子点数=" << diceSum << " (大) - 赢了! +" << betAmount << "元" << endl;} else {// Lose - bet is lostgamesLost++;cout << "第" << game << "局: 骰子点数=" << diceSum << " (小) - 输了! -" << betAmount << "元" << endl;}cout << "当前本金: " << capital << "元" << endl;cout << "------------------------------------------" << endl;}// Display final resultscout << "\n游戏结束!" << endl;cout << "==========================================" << endl;cout << "总局数: " << (gamesWon + gamesLost) << endl;cout << "获胜局数: " << gamesWon << endl;cout << "失败局数: " << gamesLost << endl;cout << "最终本金: " << capital << "元" << endl;int profit = capital - 10000;if (profit > 0) {cout << "总盈利: +" << profit << "元" << endl;} else if (profit < 0) {cout << "总亏损: " << profit << "元" << endl;} else {cout << "不赚不赔" << endl;}cout << "胜率: " << (static_cast<double>(gamesWon) / (gamesWon + gamesLost) * 100) << "%" << endl;return 0;
}