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实用指南：25年高联：一试填空题解析（下篇）

news 2025/9/17 15:29:11

实用指南：25年高联：一试填空题解析（下篇）

题目呈现（源自2025年全国高中数学联赛（预赛）A卷）

题目5．若正整数 $k$ 满足 $(sin⁡20∘+sin⁡25∘⋅icos⁡25∘+cos⁡20∘⋅i)k∈R\left( \dfrac{\sin 20^\circ + \sin 25^\circ \cdot i}{\cos 25^\circ + \cos 20^\circ \cdot i} \right)^k \in \mathbb{R}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $k$ 的最小值为______．

题目6．设 $Γ\Gamma$ 为任意正棱柱，在其12条棱中随机选取两条不同的棱 $l_1, l_2$ ，事件“ $l_1$ 与 $l_2$ 平行”的概率记为 $P(Γ)P(\Gamma)$ ，则 $P(Γ)P(\Gamma)$ 的所有可能值为______．

题目7．平面中3个单位向量 $a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 满足 $a⃗−b⃗=[a⃗⋅c⃗]+[b⃗⋅c⃗]\vec{a} - \vec{b} = \left[ \vec{a} \cdot \vec{c} \right] + \left[ \vec{b} \cdot \vec{c} \right]$ （ $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数），则 $∣a⃗+b⃗+c⃗∣|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$ 的取值范围是______．

题目8．将 $,91,2,3,\cdots,9$ 排列为 $a, b, c, d, e, f, g, h, i$ ，使得三个三位数 $abc‾+def‾+ghi‾=2025\overline{abc} + \overline{def} + \overline{ghi} = 2025$ ，则不同的排列方法数为______．

破题思路

题目5：复数乘方入实域

破题点：看到分式复数的 $k$ 次幂要求为实数，立即联想复数三角化与棣莫弗定理将复数转化为就是，目标 $r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos \theta + i \sin \theta)$ 形式，从而利用辐角为 $kθk\theta$ 时虚部为零的条件．

题目6：棱柱平行概率谜

破题点：正棱柱的棱分三类——侧棱、上底棱、下底棱．平行关系仅存在于同类棱之间，且需分类讨论底面形状（平行四边形/梯形/一般四边形）．

题目7：向量方程捉迷藏

破题点：由 $a⃗−b⃗=[a⃗⋅c⃗]+[b⃗⋅c⃗]\vec{a} - \vec{b} = [\vec{a} \cdot \vec{c}] + [\vec{b} \cdot \vec{c}]$ 且 $[⋅][\cdot]$ 是取整函数，分析出 $a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}$ 只能是整数，结合单位向量性质缩小范围．

题目8：数字排列拼2025

破题点：将 $abc‾+def‾+ghi‾=2025\overline{abc} + \overline{def} + \overline{ghi} = 2025$ 转化为各位数字和与进位制分析，关键锁定 $C = c + f + i = 15$ ．

关键推导与解答

题目5：复数乘方入实域

破题点：复数三角化与棣莫弗定理

这个分式复数长得像一团乱麻‍，但分母分子都是三角函数线性组合——和差化积公式瞬间让问题清爽起来！

原式化简：
$sin⁡20∘+isin⁡25∘cos⁡25∘+icos⁡20∘=sin⁡20∘cos⁡20∘+sin⁡25∘cos⁡25∘⋅icos⁡20∘cos⁡25∘=sin⁡40∘+isin⁡50∘2cos⁡20∘cos⁡25∘=12cos⁡20∘cos⁡25∘(cos⁡50∘+isin⁡50∘)\small{ \begin{align*} & \dfrac{\sin 20^\circ + i \sin 25^\circ}{\cos 25^\circ + i \cos 20^\circ} \\ = & \dfrac{\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}+\sin 25^{\circ}\cos 25^{\circ}\cdot i}{\cos 20^{\circ}\cos 25^{\circ}} \\ = & \dfrac{\sin 40^\circ + i \sin 50^\circ}{2 \cos 20^\circ \cos 25^\circ} \\ = & \dfrac{1}{2 \cos 20^\circ \cos 25^\circ} (\cos 50^\circ + i \sin 50^\circ) \end{align*}}$

此处用到了 $sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B=sin⁡(A+B)\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A+B)$ 的变形）

于是原复数化为：
$z=12cos⁡20∘cos⁡25∘⋅(cos⁡50∘+isin⁡50∘)\small{z = \dfrac{1}{2 \cos 20^\circ \cos 25^\circ} \cdot (\cos 50^\circ + i \sin 50^\circ)}$

它的 $k$ 次幂为：
$zk=1(2cos⁡20∘cos⁡25∘)k(cos⁡50k∘+isin⁡50k∘)\small{z^k = \dfrac{1}{(2 \cos 20^\circ \cos 25^\circ)^k} (\cos 50k^\circ + i \sin 50k^\circ)}$

关键一击： $zk∈Rz^k \in \mathbb{R}$ 当且仅当虚部为零，即 $sin⁡50k∘=0\sin 50k^\circ = 0$ ．
解得 $180^\circ \cdot m$ （ $m$ 为整数），即 $\dfrac{18m}{5}$ ．
最小正整数 $k$ 需满足 $\mid 18m$ ，故 $m = 5$ 时， $k = 18$ ．

✅ 本题精要：
三角恒等式化简分式复数
棣莫弗定理处理乘幂
虚部归零求整数解

题目6：棱柱平行概率谜

破题点：分类讨论底面形状

四棱柱的12条棱看似杂乱，实则侧棱相互平行，看上下底面情况

情形1：底面为一般四边形（两组对边都不平行）：

$P(Γ)=C42×2+C42C122=6×2+666=533\begin{align*} P(\Gamma) &= \dfrac{C_{4}^{2} \times 2 + C_{4}^{2}}{C_{12}^{2}} \\ & = \dfrac{6 \times 2 + 6}{66} = \dfrac{5}{33} \end{align*}$

情形2：底面为梯形（一组对边平行）：

$P(Γ)=C42+C42+C42×2C122=6+6+1266=733\begin{align*} P(\Gamma) &= \dfrac{C_{4}^{2} + C_{4}^{2} + C_{4}^{2} \times 2}{C_{12}^{2}} \\ &= \dfrac{6 + 6 + 12}{66} = \dfrac{7}{33} \end{align*}$

情形3：底面为平行四边形（两组对边平行）：

$P(Γ)=C42+C42+C42C122=6+6+666=311\begin{align*} P(\Gamma) &= \dfrac{C_{4}^{2} +C_{4}^{2} + C_{4}^{2}}{C_{12}^{2}} \\ &= \dfrac{6 + 6 + 6}{66} = \dfrac{3}{11} \end{align*}$

✅ 本题精要：
解剖棱柱结构（侧棱/底棱）
分类讨论底面平行性（一般/梯形/平行四边形）
组合计数（ $C_{n}^{k}$ 的灵活应用）

题目7：向量方程捉迷藏

破题点：结合单位向量性质缩小范围

单位向量点积范围是 $[- 1, 1]$ ，取整后只有 $- 1, 0, 1$ 三种可能．

由 $∣a⃗∣≤∣b⃗∣|\vec{a}|\leq|\vec{b}|$ , $∣a⃗∣=1|\vec{a}|=1$ $及$ $a⃗−b⃗=[a⃗−c⃗]+[b⃗−c⃗]∈Z\vec{a}-\vec{b}=[\vec{a}-\vec{c}]+[\vec{b}-\vec{c}]\in \mathbb{Z}$ ，

可知 $a⃗−b⃗∈{−1,0,1}\vec{a}-\vec{b}\in\{-1,0,1\}$ .

分类讨论：

情形1：若 $a⃗−b⃗=1\vec{a}-\vec{b}=1$ ，

则 $a⃗=b⃗\vec{a}=\vec{b}$ ，此时 $[a⃗−c⃗]+[b⃗−c⃗]=2[a⃗−c⃗][\vec{a}-\vec{c}]+[\vec{b}-\vec{c}]=2[\vec{a}-\vec{c}]$ 为偶数，不可能为 $1$ ，矛盾.

情形2：若 $a⃗−b⃗=−1\vec{a}-\vec{b}=-1$ ，

则 $b⃗=−a⃗\vec{b}=-\vec{a}$ ，此时 $∣a⃗+b⃗+c⃗∣=∣c⃗∣=1|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=|\vec{c}|=1$

相应的例子存在，例如 $c⃗\vec{c}$ 与 $a⃗\vec{a}$ 的夹角为锐角时，
由 $−1<−b⃗⋅c⃗<0<a⃗⋅c⃗<1-1<-\vec{b} \cdot \vec{c}<0<\vec{a} \cdot \vec{c}<1$ ，
知 $[a⃗−c⃗]+[b⃗−c⃗]=−1=a⃗−b⃗[\vec{a}-\vec{c}]+[\vec{b}-\vec{c}]=-1=\vec{a}-\vec{b}$ .

情形3：若 $a⃗−b⃗=0\vec{a}-\vec{b}=0$ ，

不妨设 $a⃗=(1,0)\vec{a}=(1,0)$ ， $b⃗=(0,1)\vec{b}=(0,1)$ ， $c⃗=(cos⁡θ,sin⁡θ)\vec{c}=(\cos\theta,\sin\theta)$ ， $θ∈[0,2π)\theta\in[0,2\pi)$ .

记 $f(θ)=[a⃗−c⃗]+[b⃗−c⃗]=[cos⁡θ]+[sin⁡θ]f(\theta)=[\vec{a}-\vec{c}]+[\vec{b}-\vec{c}]=[\cos\theta]+[\sin\theta]$ .

当 $θ=0\theta=0$ 或 $π2\dfrac{\pi}{2}$ 时， $f(θ)=1≠0f(\theta)=1\neq 0$ ，
当 $θ∈(π2,π)\theta\in(\dfrac{\pi}{2},\pi)$ 时， $f(θ)<0f(\theta)<0$ ，均不合要求.
当 $θ∈(0,π2)\theta\in(0,\dfrac{\pi}{2})$ 时， $f(θ)=0f(\theta)=0$ ，满足要求，此时
$∣a⃗+b⃗−c⃗∣=(1+cos⁡θ)2+(1+sin⁡θ)2=3+22sin⁡(θ+π4)∈(5,2+1].\begin{align*} &|\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}| \\ =& \sqrt{(1+\cos\theta)^{2}+(1+\sin\theta)^{2}} \\ =&\sqrt{3+2\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})}\\ \in& (\sqrt{5},\sqrt{2}+1]. \end{align*}$

综上， $∣a⃗+b⃗−c⃗∣|\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}|$ 的取值范围是 ${1}∪(5,2+1]\{1\} \cup(\sqrt{5},\sqrt{2}+1]$ .

✅ 本题精要：
取整函数性质（值域为 ${-1,0,1\}$ ）
向量关系分类（平行或正交）
三角参数化求范围

题目8：数字排列拼2025

破题点：转化为各位数字和与进位制分析

由题意得
$(100a+10b+c)+(100d+10e+f)+(100g+10h+i)=2025\tiny{(100a+10b+c)+(100d+10e+f)+(100g+10h+i)=2025}$
即
$100(a+d+g)+10(b+e+h)+(c+f+i)=2025\scriptsize{100(a + d + g) + 10(b + e + h) + (c + f + i) = 2025}$

记
$A=a+d+g，B=b+e+h，C=c+f+i，\begin{align*} A &=& a + d + g，\\ B &=& b + e + h，\\ C &=& c + f + i， \end{align*}$
则
$100A+10B+C=2025A+B+C=1+2+⋯+9=45\begin{align*} &100A + 10B + C = 2025\\ &A + B + C =1+2+\cdots+9 = 45 \end{align*}$

注意： $C$ 是末位和，且 $2025$ 末位为 $5$ ，故 $C$ 末位为 $5$ （可能进位）．
但 $\geq C \leq 9+8+7=24$ ，
故 $C = 15$ ．
则 $A + B = 30$ 且 $100 A + 10 B = 2010$ ，
解得 $A = 19$ ， $B = 11$ ．