题解：P2012 拯救世界2

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\(AC\) 的第一道黑题，写个题解纪念一下。

题目大意

有三种基因，第一种是可以随便填的，第二种是只能填奇数次的，第三种是只能填偶数次。

思路

容易想到这是一道指数型生成函数 \((EGF)\)，解释一下什么是 \(EGF\)：

\[F(x)=\sum_{i=0}^\infty f_i\frac{x^i}{i!} \]

对于这道题，对于第一种基因，对应的数列为 \(<1,1,1,1,...>\)，即为：

\[F(x)=e^x \]

对于第二种基因，对应的数列为 \(<1,0,1,0,...>\)，即为：

\[R(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} \]

解释一下：

\[e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+... \]

\[e^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+... \]

\[\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+... \]

对于第三种基因，对应的数列为 \(<0,1,0,1,...>\)，即为 \(G(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\)。同理：

\[\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}=x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+... \]

把上面三个式子全部乘一起，再加一个四次方，也就是：

\[(e^x\times\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\times\dfrac{e^x-e^{-x}}{2})^4 \]

第 \(n\) 次项的系数乘上 \(n!\) 就是答案，为什么呢?

证明

这需要解释一下 \(EGF\) 的工作原理，因为 \(EGF\) 是形如：

\[F(x)=\sum_{i=0}^\infty f_i\dfrac{x^i}{i!} \]

而 \(fi\) 就是序列长度为 \(n\) 时的排列数。我们用一个简单的例子解释一下：\(a\times x^b\) 定义为序列长度为 \(b\) 时的组合数为 \(a\)。那么对于长度为 \(b_1\) 和 \(b_2\) 的序列，分别有 \(a_1\) 和 \(a_2\) 种组合数，那么对于长度为 \(b_1+b_2\) 的序列，就有 \(a_1\times a_2\) 种组合数，即为 \(a_1\times a_2\times x^{b_1+b_2}\)。而且 \(a=\dfrac{f_i}{i!}\)，这个是因为排列数是要算顺序的，而组合数不用。这也就解释了为什么系数乘上 \(i!\) 就是答案。那么我们只需要把得到的式子全部乘一起，再求第 \(n\) 次项的系数乘 \(n!\) 就可以了

化简

现在我们明白了为什么系数乘上 \(i!\) 就是答案了。那么对于原式，我们进行暴力展开：

\[(e^x\times\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\times\dfrac{e^x-e^{-x}}{2})^4 \]

\[=(\dfrac{1}{4}(e^{3x}-e^{-x}))^4 \]

\[=\dfrac{1}{256}(e^{12x}-4e^{8x}+6e^{4x}-4+e^{-4x}) \]

答案也就是化简和结果的 \(n\) 次项系数乘上 \(n!\)

\[=\dfrac{1}{256}(\sum\dfrac{(12e)^i}{i!}-\sum\dfrac{4*(8e)^i}{i!}+\sum\dfrac{6*(4e)^i}{i!}+\sum\dfrac{(-4e)^i}{i!}-4) \]

因为 \(-4\) 是常数项，所以我们不需要。那么把这个式子乘上 \(n!\)。得到：

\[=\dfrac{1}{256}((12e)^n-4*(8e)^n+6*(4e)^n+(-4e)^n) \]

\[=81\times12^{n−4}−4\times8^{n−2}+6\times4^{n−4}+(−4)^{n−4} \]

注意事项

接下来就是愉快的敲代码了，要注意因为要算负数的幂，所以在快速幂里面记得 \(+mod\) 后再模 \(mod\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1010101;
const int mod=1e9;
ll n,ans;
ll qpow(ll x,ll y){ll sum=1;while(y){if(y&1)sum=(sum*x+mod)%mod;x=(x*x+mod)%mod;y>>=1;}return (sum+mod)%mod;
}
int main(){while(1){scanf("%lld",&n);if(!n)break;if(n<=3){printf("0\n");continue;}ans=0;ans=(ans+81*qpow(12,n-4)%mod)%mod;ans=(ans-qpow(8,n-2)%mod+mod)%mod;ans=(ans+6*qpow(4,n-4)%mod)%mod;ans=(ans+qpow(-4,n-4)%mod+mod)%mod;printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);}return 0;
}

完结撒花