溢出存储变量

这个 negative(i) 表示的就是 (-i) 这个数（其中 i>=0)，在二进制下的编码。

这个编码满足 \(i+negative(i)=2^k\)，可是由于我们二进制下只有 \(k\) 位，最高位是 \(2^{k-1}\)，所以那个 \(1\) 会被丢掉，所以加起来结果为 \(0\)。

那如何确定一个数被存储为多少，因为前面那些它都会被舍弃，我们可以在 \(\mod 256\) 下找对应编号，以及编号对应的值，比如 \(- 1 \mod 256=255\)，所以我们找到编号为 255 的值是 -1，而 -1 的编号就是 255，也就是我们变量里可以看成存的是编号，实际的值我们要去找对应。

对于我们赋值为 255，最后却输出了 -1，这种东西就叫 溢出（overflow）

负数&补码

好的，我们来详细讲解一下这张图片所传达的核心概念——计算机中负数的表示方法，也就是补码（Complement）。

这张图是一个非常直观的教学材料，它系统地解释了为什么以及如何用补码来表示负数。

核心思想：什么是“补”？

图片左侧首先解释了“补”的概念：

a + b = 常数，则称a是b的补，b是a的补。

这就像我们日常生活中：

• 在十进制里，7 是 3 关于10的补数，因为 7 + 3 = 10。
• 在时钟上，11点 也可以看作是 -1点 关于12的补数，因为 11 + 1 = 12。

计算机借鉴了这个聪明的思想，但它的世界是二进制的，所以这个“常数”是 2 的 k 次方（k是二进制数的位数）。

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二进制的补：补码的定义

图片给出了二进制补码的计算公式：

Negative(i) = 2^k - i

• k: 代表数据的位数。例如，一个字节（byte）由8个比特（bit）组成，所以 k = 8。
• i: 我们想要表示的正数。
• Negative(i): 我们要求得的负数 -i 的二进制表示（即补码）。

举个例子（k=8）：
我们想求十进制数 5 的负数表示。
Negative(5) = 2^8 - 5 = 256 - 5 = 251
所以，十进制数 251 所对应的二进制码，就代表了 -5。

这也解释了图片中的另一个要点：

负数 + 对应的正数 = 256
(5 + 251 = 256)

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深入理解：字节（Byte）的例子

图片以 8 位的字节（Byte）为例进行了说明，这是理解补码最经典的场景。

1. 取值范围：一个字节可以表示 2^8 = 256 个不同的值。

   • 正数：0 到 127 (共128个)
   • 负数：-1 到 -128 (共128个)
   • 没有 +0 和 -0：这是补码设计的精妙之处，它完美地解决了“零”有两种表示的问题。

2. 符号位 (Sign Bit)：

   • 图片指出：“负数第一位是1正数是0，所以它称为符号位”。
   • 在8位二进制中，最高位（最左边的那一位）就是符号位。
     • 0 开头的数字是正数或零。（例如：0xxxxxxx）
     • 1 开头的数字是负数。（例如：1xxxxxxx）
   • 这让我们能非常快速地判断一个数是正还是负。

3. -1 的特殊性：

   • 图片提到 “-1即是从第k位借位减一，一定是全111...111”。
   • 根据公式：Negative(1) = 256 - 1 = 255
   • 255 的二进制表示正是 1111 1111。
   • 你可以把它想象成 “向高位借1”（也就是256），然后减去1，结果自然是255（即8个1）。这在数学上和电路设计上都非常方便。

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解读右侧的对照表

右侧的表格是以上所有理论的具体实践。它清晰地展示了：

• 绿色部分（上半部分）：正数。从 0 (二进制 0000 0000) 开始，向上递增到 127 (二进制 0111 1111)。注意，所有正数的符号位都是 0。
• 红色部分（下半部分）：负数（补码形式）。从 -1 (二进制 1111 1111) 开始，向下递减（数值变小）到 -128 (二进制 1000 0000)。注意，所有负数的符号位都是 1。
• 黑色箭头：指示了二进制码本身的数值（如果把它当作无符号数来看）是从上到下递增的。0000 0000 (0) 最小，1111 1111 (255) 最大。
  • 这带来了一个巨大的好处：计算机的CPU不需要为有符号数设计专门的加法器！
  • 例如，计算 5 + (-3)：
    • 5 的补码是 0000 0101
    • -3 的补码是 1111 1101 (因为 256 - 3 = 253，253的二进制是1111 1101)
    • 直接把两个二进制码相加：0000 0101 + 1111 1101 = 1 0000 0010
    • 由于byte只有8位，最高位的1被舍弃，剩下 0000 0010，这正是十进制 2 的补码！结果完全正确。

总结

这张图片精炼地介绍了计算机表示负数的核心方法——补码。

1. 目的：为了解决计算机中负数的存储和计算问题。
2. 原理：利用“补数”的概念，用正数编码来表示对应的负数。负数的补码 = 模 - 正数的值。
3. 特点：
   • 有符号位，最高位为1代表负数。
   • 0有唯一的表示（全0）。
   • 表示范围不对称（例如byte是 -128 ~ +127）。
4. 优势：可以将减法运算转换为加法运算，极大简化了CPU内部硬件电路的设计。这是补码方案成为业界标准的最主要原因。

希望这个讲解能帮助你彻底理解这张图的内容！

原码&反码&补码

好的，我们来系统地梳理一下 原码、反码、补码 这三种表示方法，它们都是为了解决同一个核心问题：如何在计算机中用二进制表示有符号整数（正数、负数和零）？

计算机的CPU只有加法器，没有减法器。为了让它能计算 5 - 3，我们需要想办法把 -3 表示出来，并且让 5 + (-3) 能得到正确的结果 2。这三种编码就是历史上出现的不同解决方案。

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1. 原码 (Sign-Magnitude)

• 核心思想：最直观的想法
  • 用最高位表示符号：0 代表正数，1 代表负数。
  • 剩下的位表示这个数的绝对值（大小）。
• 例子 (8位)：
  • +5： 0 000 0101 （符号位0 + 5的二进制）
  • -5： 1 000 0101 （符号位1 + 5的二进制）
  • +0： 0 000 0000
  • -0： 1 000 0000 （问题来了！）
• 优点：
  • 非常直观，人类最容易理解。
• 致命缺点：
  • 存在两个零 (+0 和 -0)： 这不仅浪费了一个编码组合，还会在比较和运算时带来麻烦（计算机需要额外判断 0 == -0 为真）。
  • 加减运算复杂： CPU不能直接用加法器进行运算。
    • 例如计算 5 + (-3)：
      • 原码：0000 0101 + 1000 0011 = 1000 1000 (即 -8)，这显然是错误的！
    • 进行加减法时，CPU需要先判断符号位：
      • 如果符号相同，做加法，结果符号不变。
      • 如果符号不同，要用绝对值大的数减去绝对值小的数，结果的符号取绝对值大的数的符号。
    • 这需要额外的逻辑电路，效率低下。

总结： 原码虽然直观，但存在 ±0 问题和复杂的运算逻辑，不适合计算机硬件实现。

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2. 反码 (Ones' Complement)

• 核心思想：尝试解决运算问题
  • 正数的反码 = 其原码。
  • 负数的反码 = 其原码的符号位不变，其他位按位取反（0 变 1，1 变 0）。
• 例子 (8位)：
  • +5： 0 000 0101 （和原码一样）
  • -5：
    • 原码： 1 000 0101
    • 符号位不变：1
    • 其他位取反：111 1010
    • 反码： 1 111 1010
  • +0： 0 000 0000
  • -0：
    • 原码： 1 000 0000
    • 反码： 1 111 1111 （问题依然存在！）
• 优点（相比原码）：
  • 进行加法运算时，如果最高位有进位，需要把这个进位加回到结果的最低位（称为“循环进位”或“回绕”）。这样，加法器可以统一处理正负数相加（至少在部分情况下）。
    • 例如计算 5 + (-3)：
      • 5 的反码： 0000 0101
      • -3 的反码： 1111 1100 （3是0000 0011，取反1111 1100）
      • 相加： 0000 0101 + 1111 1100 = 1 0000 0001 （产生进位）
      • 把进位 1 加回最低位： 0000 0001 + 1 = 0000 0010 （即 2，正确！）
• 缺点：
  • 仍然存在两个零 (+0 和 -0)： 0000 0000 和 1111 1111。
  • 循环进位增加硬件复杂度： 每次加法都需要判断是否有进位并处理，降低了效率。
  • 表示范围不对称： 对于8位，范围是 -127 (1111 1111) 到 +127 (0111 1111)，缺少了 -128。

总结： 反码解决了原码的部分运算问题（加法可以统一处理），但 ±0 问题和循环进位依然存在，效率不够理想。

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3. 补码 (Two's Complement) - 现代计算机的标准！

• 核心思想：完美解决 ±0 和运算问题
  • 正数的补码 = 其原码。
  • 负数的补码 = 其反码 + 1。
  • 或者更本质地： 负数的补码 = 2^k - |X| (k是位数)。对于8位，2^8 = 256，所以 -5 的补码是 256 - 5 = 251 (1111 1011)。
• 例子 (8位)：
  • +5： 0 000 0101 （和原码、反码一样）
  • -5：
    • 原码： 1 000 0101
    • 反码： 1 111 1010
    • 反码 + 1： 1 111 1010 + 1 = 1 111 1011 (1111 1011)
    • (或 256 - 5 = 251 -> 1111 1011)
  • +0： 0000 0000
  • -0： 不存在！
    • 计算 -0 的补码：
      • 原码： 1000 0000
      • 反码： 1111 1111
      • 反码 + 1： 1111 1111 + 1 = 1 0000 0000 (9位)。舍弃最高位进位，剩下 0000 0000。结果和 +0 相同！
  • 额外收获： 1000 0000 这个原本可能表示 -0 的编码，被赋予了新的意义：-128。
    • 因为 1000 0000 作为无符号数是 128，根据补码定义 128 - 256 = -128。
• 优点：
  • 唯一的零 (0): 0000 0000。解决了 ±0 的歧义和浪费。
  • 运算最简单： 加法器可以直接用于加法和减法！ 不需要判断符号位，不需要循环进位。
    • 计算 5 + (-3)：
      • 5 的补码： 0000 0101
      • -3 的补码： 1111 1101 （3是0000 0011，取反1111 1100，加1 1111 1101)
      • 相加： 0000 0101 + 1111 1101 = 1 0000 0010 （产生进位）
      • 舍弃最高位进位，剩下 0000 0010 （即 2，正确！）
    • 计算 3 - 5 等价于 3 + (-5)：
      • 3 的补码： 0000 0011
      • -5 的补码： 1111 1011
      • 相加： 0000 0011 + 1111 1011 = 1111 1110
      • 结果 1111 1110 是补码。最高位是 1，说明是负数。求其数值：
        • 方法1： 1111 1110 作为无符号数是 254，254 - 256 = -2。
        • 方法2： 对 1111 1110 取反（得 0000 0001）再加1（得 0000 0010，即 2），所以原值是 -2。正确！
  • 表示范围更合理 (不对称但连续)： 对于8位，范围是 -128 (1000 0000) 到 +127 (0111 1111)。比反码多表示了一个数 (-128)。

总结： 补码完美解决了 ±0 问题，并使得加法和减法运算可以用同一个加法器电路完成，极大地简化了CPU的设计，提高了效率。这就是为什么现代计算机全部使用补码来表示整数。

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总结对比表 (以8位为例)

特性	原码 (Sign-Magnitude)	反码 (Ones' Complement)	补码 (Two's Complement) ✅
正数表示	符号位0 + 绝对值	同原码	同原码
负数表示	符号位1 + 绝对值	符号位不变，其他位取反	反码 + 1 (或 `2^k -
+0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
-0	1000 0000 (存在问题)	1111 1111 (存在问题)	不存在！ (0000 0000)
最小数	1111 1111 = -127	1000 0000 = -127¹	1000 0000 = -128
最大数	0111 1111 = +127	0111 1111 = +127	0111 1111 = +127
零的个数	2 (+0, -0)	2 (+0, -0)	1 (0)
加减运算	复杂，需判断符号和绝对值	较复杂，需处理循环进位	简单！直接相加，舍弃进位
硬件实现	复杂，效率低	较复杂，效率较低	简单，效率高
现代应用	基本不用	基本不用	唯一标准

¹ 反码的 1000 0000 通常表示 -127，1111 1111 表示 -0。严格来说最小数是 -127。

一句话记住：

• 原码： 直观但有 ±0，运算麻烦。
• 反码： 改进运算但有 ±0，要循环进位。
• 补码： 消灭 -0，统一加减法，硬件最爱！👍

理解补码是理解计算机如何做整数运算的基础。希望这个详细的解释能帮你理清思路！